Kamis, 01 Maret 2012

Rumus Matriks Matematika

MATEMATIKA MATRIKS INVERS

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\
 -c & a \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{d} {ad-bc} & 
-\frac{b} {ad-bc} \\ -\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\ 
\end{bmatrix}
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) − 1 = B − 1A − 1

Contoh 1:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\
 \end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix} 2
 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 
\end{bmatrix} = I (matriks identitas)
BA = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \\ 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 
\end{bmatrix} = I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\
 3 & 4 \\ \end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\
 \end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix} 1
 & 1 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \\ 
\end{bmatrix}
BA = \begin{bmatrix} 2
 & 5 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \\ 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 21 \\ 15 & 19 \\ 
\end{bmatrix}
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\ 
\end{bmatrix}
Tentukan Nilai dari A-1
Jawab:
A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix} 2 
& -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix} 2
 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix} 2
 & -1 \\ -5 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\
 -5 & 3 \\ \end{bmatrix}

Contoh 4:
Matriks
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 
\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \\ 
\end{bmatrix}, AB = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 8 \\ 
\end{bmatrix}
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ 
\end{bmatrix}, B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 
\frac{3} {2} \\ \end{bmatrix}, (AB)^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 
-\frac{9} {2} & 8 \\ \end{bmatrix}
Maka
B^{-1} 
A^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \frac{3} {2} \\ 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \\ 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -\frac{9} {2} 
& 8 \\ \end{bmatrix}
Ini membuktikan bahwa (AB) − 1 = B − 1A − 1

1 komentar: